《高等数学》考试大纲
关于考试大纲的几点说明
1．高等数学是理工类本科专业后续课程的基础，是教学计划中的一门专业基础课.
2．考试要求：本课程的考试要求既要考核知识，又要考核能力，因此要求考生复
习本课程时应注意系统掌握本大纲所规定的基础知识，基本方法，提高运算能力和逻辑思维能力，并能运用数学知识分析，解决一些实际问题.
3．本大纲中将基本要求分为由低到高的三个等级，对概念和理论性的知识，分别用“知道”、“了解”、“理解”三级区分，对运算方法的知识分别用“会或能”、“掌握”、“熟练掌握”三级区分.
4．本课程考试方式为闭卷，答卷时间为120分钟，采用百分制，试题的难度按易、中、难三个层次的比例约为30：50：20.
5．题型
填空题，共5小题，每小题3分，计15分.
单项选择题（四个备选答案中有且只有一个正确）共5小题，每小题3分，计15分.
计算题，共5小题，每小题10分，计50分.
综合或应用题1题，计10分.
证明题1题，计10分.
6．参考书目：
曾庆柏编《大学数学应用基础》湖南教育出版社
考试内容及要求
一、函数、极限与连续
1．考核知识点
（1）函数：函数的概念，函数的几种特性，分段函数，复合函数与反函数，初等
函数.
（2）极限：数列的极限，函数的极限，无穷小与无穷大，极限的运算法则，两个重要极限，无穷小的比较.
（3）连续：函数的连续性与间断点，闭区间上连续函数的性质.
2．考核目标和要求
（1）理解和掌握函数、极限与连续的概念.
（2）能熟练地求函数的定义域，初等函数及分段函数的函数值.
（3）熟练地应用极限的四则运算法则，两个重要极限求数列或函数极限.
（4）了解无穷小量与无穷大的概念与关系，会对无穷小的阶进行比较.
（5）掌握函数左、右极限与极限的关系.
（6）了解函数连续性的概念，会判断分段函数在分段点处的连续性.
（7）会求函数的间断点和连续区间.（不要求判断间断点的类型）
（8）知道闭区间上连续函数的性质.
二、导数与微分
1．考核知识点
（1）导数的定义，导数的几何意义，可导与连续的关系.
（2）求导法则，导数的四则运算法则，复合函数的求导法则，反函数的求导法则，隐函数及参数方程所确定的函数的求导法则，基本求导公式.
（3）高阶导数.
（4）微分的定义，求法及运算法则.
2．考核目标及要求
（1）理解导数定义，了解微分的概念，会求曲线上一点处的切线斜率及切线方程，会用导数定义求一些简单函数的导数，知道可导与连续的关系.
（2）熟练地运用求导法则求函数的导数，熟练地求函数的微分.
（3）会求初等函数的高阶导数.
三、导数的应用
1．考核知识点
（1）中值定理、罗尔定理、拉格朗的中值定理，柯西中值定理.（定理的证明不要求
会证）
（2）导数的应用，洛比达法则，函数的单调性，函数的极值，函数的凹凸性，拐点，曲线的渐近线（水平、垂直）简单函数图形的描绘，最大值、最小值应用问题.
2．考核目标和要求
（1）会叙述罗尔定理，拉格朗的中值定理，柯西中值定理，掌握用这三个定理作一
些命题的证明.
（2）熟练地运用洛比达法则求各种未定型的极限.
（3）掌握用导数判定函数的单调性和极值点，会求函数的单调区间和极值，会用函数的单调性证明不等式.
（4）会求函数的凹凸区间和拐点，会求曲线的水平和垂直浙近线.
（5）会利用导数方法作简单函数的图形.
（6）掌握用导数方法求解最值应用问题.
四、不定积分
1．考核知识点
（1）原函数与不定积分的概念.
（2）基本积分公式，换元积分法和分部积分法.
（3）简单有理函数的积分.
2．考核目标和要求
（1）掌握原函数与不定积分的概念，能熟练地应用基本积分公式，知道求导与求不
定积分两种运算的关系.
（2）熟练地利用换元法与分部积分法求不定积分.
（3）会求一些简单有理函数的不定积分.
五、定积分及其应用
1．考核知识点
（1）定积分的定义与性质.
（2）变上限的定积分，原函数存在定理与牛顿—莱布尼兹公式.
（3）定积分的换元法与分部积分法.
（4）广义积分.
（5）定积分的应用，平面图形的面积和旋转体的体积.
2．考核目标和要求
（1）知道定积分的定义，了解定积分的性质和积分中值定理.
（2）了解变上限的定积分，原函数存在定理，熟练地应用牛顿—莱布尼兹公式计算
定积分.
（3）熟练掌握用定积分的换元法和分部积分法求定积分.
（4）会计算简单的广义积分.
（5）掌握有关用积分性质，变上限的定积分或换元法作一些命题的证明.
（6）了解微元法，掌握用定积分求平面图形的面积或旋转体的体积.
六、常微分方程
1．考核知识点
（1）微分方程的定义，阶及解的概念.
（2）一阶微分方程：可分离变量的微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程.
（3）可降阶的高阶微分方程. 型， 型及 型微分方
程.
（4）二阶常系数线性齐次和非齐次微分方程.
2．考核目标及要求
（1）了解微分方程的定义，阶及解的概念，熟练掌握可分离变量方程和一阶非齐
次线性方程的解法，掌握齐次方程的解法.
（2）掌握可降阶的三类微分方程的解法.
（3）掌握二阶常系数齐次线性方程的解法.
（4）掌握二阶常系数非齐次线性方程中 和 时通特及特解的求法.（这里 为 的 次多项式）
（5）掌握对实际问题建立微分方程并求解之.
七、向量代数与空间解析几何
1．考核知识点
（1）向量的概念及向量的线性运算.
（2）空间直角坐标系，向量的坐标表示.
（3）向量的数量积与向量积.
（4）平面与空间直线的各种方程.
（5）两平面间，两直线间，平面与直线间的位置关系.
（6）曲面与空间曲线的方程.
（7）柱面、旋转曲面、椭球面、椭圆抛物面、单叶双曲面及双叶双曲面.
2．考核目标及要求
（1）理解向量的定义，向量的模、方向的概念.
（2）熟练掌握向量的加、减、数乘、数量积及向量积的运算.
（3）知道向量平行与垂直的条件.
（4）根据条件，熟练地建立平面和直线的各种形式的方程.
（5）能正确判断平面与平面、直线与直线、平面与直线的位置关系.
（6）能正确识别曲面的方程及形状.
八、多元函数的微积分学
1．考核知识点
（1）多元函数的定义，二元函数的极限与连续.
（2）偏导数的概念及计算，高阶偏导数，全微分的概念及计算.
（3）多元复合函数的求导法则及隐函数的求导法.
（4）偏导数的几何应用.
（5）多元函数的极值，条件极值及拉格朗日乘数法.
（6）二重积分的概念及性质.
（7）二重积分的计算—直角坐标系及利用极坐标计算.
（8）二重积分的简单应用—立体的体积及曲面的面积.
2．考核目标及要求
（1）知道二元函数和二元函数极限与连续的定义，会求二元函数的定义域.
（2）熟练掌握求偏导数的方法，会求二元函数的二阶偏导数.
（3）掌握二元复合函数及隐函数的求导法则，会求三元复合函数及隐函数的偏导数.
（4）了解二、三元函数全微分的概念，会求二、三元函数的全微分.
（5）会求空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线方程.
（6）了解二元函数极值与条件极值的概念，会求二元函数的极值与条件极值.
（7）知道二重积分的定义和性质.
（8）熟练掌握化二重积分为二次积分求二重积分的方法，包括直角坐标系中及利用
极坐标变换的方法.
九、级数
1．考核知识点
（1）数项级数的概念，级数的敛散性及性质.
（2）正项级数的定义及其判别法.
（3）交错级数的定义及其收敛判别法，任意项级数的绝对收敛与条件收敛.
（4）幂级数的定义，收敛半径、收敛域.
（5）幂级数的运算和函数的连续性，和函数的求导与求积.
（6）函数展开成幂级数.
（7）几个常见函数的马克劳林级数.（
2．考核目标和要求
（1）理解无穷级数敛散性的定义，收敛的必要条件及基本性质.
（2）熟练掌握正项级数敛散性的比较判别法，比值判别法.
（3）了解交错级数的定义，掌握交错级数收敛的判别法.
（4）理解任意项级数的绝对收敛与条件收敛.
（5）知道幂级数的定义，会求幂级数的收敛半径和收敛域.
（6）了解幂级数的四则运算，和函数的连续性，会求和函数的导数和积分.
（7）掌握 的幂级数展开式，并应用它们将一些简
单函数展成 的幂级数.
